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만약 X ~ N(μ,σ2)이며, a와 b가 상수라면 Y = aX + b ~ N(aμ + b, a2σ2)가 성립된다. [Proof]이라면,이며, 또한이라면,이다. 따라서,

[정규분포에 대한 확률 계산]만약 X~N(μ,σ2)이라면이다. 확률 변수 Z는 확률 변수 X의 표준화이다. 확률과 누적분포 함수 간의 관계는 다음과 같다: [Proof]

[Def] 정규분포 정규 또는 가우스 분포 함수는 상태 공간 -∞≤x≤∞의 연속 분포 함수이며, 다음과 같은 확률 밀도 함수로 정의된다:정규 분포의 확률 밀도 함수는 파라미터 μ와 σ2를 가지며 기대값과 분산은 각각및이며 확률 변수 X가 μ와 σ2를 갖는 정규 분포를 따른다고 할 때 다음과 같이 표현한다: [Def] 표준정규분포평균 μ=0과 σ2=1을 갖는 정규분포를 특별히 표준정규분포라하고 확률 밀도 함수 φ(x)는 상태 공간 -∞≤x≤∞에 대하여이다. 누적 확률 분포 함수는이며, 항상 Φ(x)=0.5이다. 정규분포 함수의 대칭으로 인해가 성립된다.

[Def] 와이불 분산 (Weibull Distribution) 파라미터 a > 0 및 λ > 0를 갖는 Weibull 분산은 x ≥ 0에 대하여 확률 밀도 함수 를 가지며 x < 0 에 대해서는이며, 누적 분포 함수는 이며, 기대값과 분산은 각각 및 이다.λ는 스케일 파라미터, a는 형상 파라미터라고 한다.

감마분산[Definition] 감마 함수 (Gamma Function)감마 함수는 다음과 정의되며: \( \Gamma(k) = \displaystyle{ \int_{0}^{\infty}{x^{k-1}e^{-x}} }dx \) 특별한 경우에 있어, \(\Gamma(1) = 1\) 및 \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)입니다. 일반적으로, \(k > 1\)1에 대하여 \( \Gamma(k) = (k-1)\Gamma(k-1) \) 이며, 만약 n이 양의 정수일 경우, \( \Gamma(n) = (n-1)! \)이 성립됩니다.[Definition] 감마 분산 (Gamma Distribution)파라미터 \(k > 0\) 및 \(\lambda > 0\)를 갖는 감마 분산은 \(x \ge 0\)에 ..

지수 분산 (Exponential Distribution)Definition파라미터 \(\lambda > 0\)을 갖는 지수 분산의 확률 밀도 함수는 \(x \ge 0\)에 대하여 \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) 이며, \(x < 0\)에 대하여 \(f(x) = 0\) 입니다. 누적 분포 함수는 \(x \ge 0\)에 대하여 \( F(X) = \displaystyle{\int_{0}^{x}{f(y)}dy = 1 - e^{-\lambda x}} \) 이며 기대값과 분산은 각각 \( \mathrm{E}(X) = \displaystyle{\frac{1}{\lambda}} \) 및 \( \mathrm{Var}(x) = \displaystyle{\frac{1}{\lambda^2}}..

균일 분산(Uniform Distribution)Definition다음을 만족하는 a와 b사이의 일정한 확률 밀도 함수를 갖는 확률 변수 X는 \( f(x) = \displaystyle{\frac{1}{b-a}} \) for \(a \le x \le b \) \( f(x) = 0 \) elsewhere 균일분산을 갖는다고 하며, 다음과 같이 표현합니다: \( X \sim U(a,b) \) 이에 대한 누적 분포 함수는 \( F(x)= \displaystyle{\frac{x-a}{b-a}} \) 이며, 기대값과 분산은 각각 \( E(X) = \displaystyle{\frac{a+b}{2}} \) 및 \( Var(X) = \displaystyle{\frac{(b-a)^2}{12}} \) 입니다.Proof\(..

포아송 분산 때때로 특정 범위 내에서 발생하는 사건의 수를 세는 확률 변수를 정의해야 할 필요가 습니다. 예를 들어, 실험자가 아이템 중 결함을 가지고 있는 아이템의 수에 관심이 있다거나 특정 시간 범위 내에 받는 전화 횟수 등입니다. 포아송(Poisson) 분포는 이러한 상황에 대한 적절한 모델을 제시합니다.Definition파라미터 λ를 갖는 포아송 확률 변수로 분한된 확률 변수 X는 다음과 같이 정의할 수 있으며: \( X \sim P(\lambda) \) \(\lambda\)는 이에 대한 확률 밀도 함수는 x = 0, 1, 2, 3, ...에 대해 \( P(X=x) = \displaystyle{\frac{e^{\lambda} \lambda^x}{x!}} \) 입니다. n이 충분히 클 경우(이를테면..

[Def] 초기하 분산(Hypergeometric Distribution)전체 N개의 아이템 중 r개가 특정 종류라고 가정하자. 예를 들어 N개의 공 중 r개의 공이 빨간 공이라고 하자. 임의로 하나의 아이템을 추출할 때 빨간 공이 선택될 확률은만약 복원 추출(아이템을 임의로 선택하고 확인 후 복귀)일 경우 확률 변수 X는 다음의 이항분포를 따른다.그러나 만약 비복원 추출일 경우 이항분포가 적용될 수 없다. (왜냐하면 매 시행마다 확률이 바뀌기 때문이다) 이 경우 초기하 분산이 적용되며에 대한 확률은이다. 또한 기대값과 분산은 각각 및 이다.

[Def.] 기하 분산(Geometric Distribution)성공 확률이 p로 동일한 독립 베르누이 시도(trials)에 있어 첫번째 성공을 포함한 시도 회수는 파라미터 p를 갖는 기하 분산(geometric distribution)을 가지며, 확률 밀도 함수는 x = 1, 2, ...에 대하여이며, 누적 분포 함수는이다.또한 기대값과 분산은 , 이다. 이에 대한 누적 분포 함수는