[Probability] Continuous Probability Distributions - Uniform Distribution

균일 분산(Uniform Distribution)

Definition

다음을 만족하는 a와 b사이의 일정한 확률 밀도 함수를 갖는 확률 변수 X는

\( f(x) = \displaystyle{\frac{1}{b-a}} \) for \(a \le x \le b \)

\( f(x) = 0 \) elsewhere

균일분산을 갖는다고 하며, 다음과 같이 표현합니다:

\( X \sim U(a,b) \)

이에 대한 누적 분포 함수는

\( F(x)= \displaystyle{\frac{x-a}{b-a}} \)

이며, 기대값과 분산은 각각

\( E(X) = \displaystyle{\frac{a+b}{2}} \) 및 \( Var(X) = \displaystyle{\frac{(b-a)^2}{12}} \) 

입니다.

Proof

\( E(X) = \displaystyle{\int_{a}^{b}{xf(x)}}dx = \displaystyle{\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}{x}dx} = \displaystyle{\frac{1}{2(b-a)}(b^2-a^2)} = \displaystyle{\frac{b+a}{2}} \)

\( E(X^2) = \displaystyle{\int_{a}^{b}{x^2 f(x)}dx} = \displaystyle{\int_{a}^{b}{{\frac{x^2}{b-a}}}}dx = \displaystyle{\frac{a^2+ab+b^2}{3}} \)

\( Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \displaystyle{\frac{a^2 + ab + b^2}{3}} - \begin{pmatrix} \displaystyle{\frac{b+a}{2}} \end{pmatrix}^2 = \displaystyle{\frac{(b-a)^2}{12}} \)