[Probability] Continuous Probability Distributions - Exponential Distribution

지수 분산 (Exponential Distribution)

Definition

파라미터 \(\lambda > 0\)을 갖는 지수 분산의 확률 밀도 함수는 \(x \ge 0\)에 대하여

\( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \)

이며, \(x < 0\)에 대하여

\(f(x) = 0\)

입니다. 누적 분포 함수는 \(x \ge 0\)에 대하여

\( F(X) = \displaystyle{\int_{0}^{x}{f(y)}dy = 1 - e^{-\lambda x}} \)

이며 기대값과 분산은 각각

 

\( \mathrm{E}(X) = \displaystyle{\frac{1}{\lambda}} \) 및 \( \mathrm{Var}(x) = \displaystyle{\frac{1}{\lambda^2}} \)

입니다.

Proof

\( F(x) = \displaystyle{\int_{0}^{x}{\lambda e^{-\lambda y}dy} = 1 - e^{-\lambda x}} \)

 

\( \mathrm{E}(x) = \displaystyle{\int_{0}^{\infty}{x \lambda e^{-\lambda x}dx} = \frac{1}{\lambda} } \)

위와 유사하게 부분 적분을 이용하여

\( \mathrm{E}(X^2) = \displaystyle{\int_{0}^{\infty}{x^2 \lambda e^{-\lambda x}} dx = \frac{2}{\lambda^2}} \)

를 구하면,

\( \mathrm{Var}(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \displaystyle{\frac{1}{\lambda^2}}  \)

 

입니다.