[Probability] Continuous Probability Distributions - Gamma Distribution

감마분산

[Definition] 감마 함수 (Gamma Function)

감마 함수는 다음과 정의되며:

\( \Gamma(k) = \displaystyle{ \int_{0}^{\infty}{x^{k-1}e^{-x}} }dx \)

특별한 경우에 있어, \(\Gamma(1) = 1\) 및 \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)입니다. 일반적으로, \(k > 1\)1에 대하여 \( \Gamma(k) = (k-1)\Gamma(k-1) \) 이며, 만약 n이 양의 정수일 경우, \( \Gamma(n) = (n-1)! \)이 성립됩니다.

[Definition] 감마 분산 (Gamma Distribution)

파라미터 \(k > 0\) 및 \(\lambda > 0\)를 갖는 감마 분산은 \(x \ge 0\)에 대하여 확률 밀도 함수,

\( f(x) = \displaystyle{\frac{\lambda^k x^{k-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(k)}} \)

를 가지며 \(x < 0\)에 대하여

\(f(x) = 0\)

입니다. 이에 대한 기대값 및 분산은 각각

\( E(X) = \displaystyle{\frac{k}{\lambda}} \)

및

\( Var(X) = \displaystyle{\frac{k}{\lambda^2}} \)

입니다. 파라미터 k는 감마 분산의 형상 파라미터라고 하며 λ는 스케일 파라미터라고 합니다. 감마함수의 값은 이곳을 통해 간편하게 계산할 수 있습니다.