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만약 확률변수 Xi ~ N(μ,σ2), 1 ≤ i ≤ n 가 독립 확률 변수라면 이들의 평균는 다음의 분산을 따른다: [Proof]이므로이며,이므로따라서,

서로 독립인 두 개의 정규 확률 변수 X1 ~ N(μ1,σ12) 및 X2 ~ N(μ2,σ22)에 대하여 다음이 성립한다: [Proof] 및 라면이며, 및라면이므로,가 성립된다.

만약 X ~ N(μ,σ2)이며, a와 b가 상수라면 Y = aX + b ~ N(aμ + b, a2σ2)가 성립된다. [Proof]이라면,이며, 또한이라면,이다. 따라서,

[정규분포에 대한 확률 계산]만약 X~N(μ,σ2)이라면이다. 확률 변수 Z는 확률 변수 X의 표준화이다. 확률과 누적분포 함수 간의 관계는 다음과 같다: [Proof]

[Def] 정규분포 정규 또는 가우스 분포 함수는 상태 공간 -∞≤x≤∞의 연속 분포 함수이며, 다음과 같은 확률 밀도 함수로 정의된다:정규 분포의 확률 밀도 함수는 파라미터 μ와 σ2를 가지며 기대값과 분산은 각각및이며 확률 변수 X가 μ와 σ2를 갖는 정규 분포를 따른다고 할 때 다음과 같이 표현한다: [Def] 표준정규분포평균 μ=0과 σ2=1을 갖는 정규분포를 특별히 표준정규분포라하고 확률 밀도 함수 φ(x)는 상태 공간 -∞≤x≤∞에 대하여이다. 누적 확률 분포 함수는이며, 항상 Φ(x)=0.5이다. 정규분포 함수의 대칭으로 인해가 성립된다.

베타 분산 (Beta Distribution)Definition파라미터 \(a > 0\) 및 \(b > 0\)를 갖는 베타 분산은 \(0 \leq x \leq 1\)에 대하여 확률 밀도 함수 \(\displaystyle{ f(x) = \frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a) \Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}}\) 이며 그 외에서는 \(f(x) = 0\) 이다. 기대값과 분산기대값은 \( \displaystyle{ \mathrm{E}(\mathbf{X}) = \frac{a}{a+b} } \) 이며, 분산은 \( \mathrm{Var}(\mathbf{X}) = \displaystyle{\frac{ab}{(a+b)^2 (a+b+1)}} \) 이다.

[Def] 와이불 분산 (Weibull Distribution) 파라미터 a > 0 및 λ > 0를 갖는 Weibull 분산은 x ≥ 0에 대하여 확률 밀도 함수 를 가지며 x < 0 에 대해서는이며, 누적 분포 함수는 이며, 기대값과 분산은 각각 및 이다.λ는 스케일 파라미터, a는 형상 파라미터라고 한다.

감마분산[Definition] 감마 함수 (Gamma Function)감마 함수는 다음과 정의되며: \( \Gamma(k) = \displaystyle{ \int_{0}^{\infty}{x^{k-1}e^{-x}} }dx \) 특별한 경우에 있어, \(\Gamma(1) = 1\) 및 \(\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}\)입니다. 일반적으로, \(k > 1\)1에 대하여 \( \Gamma(k) = (k-1)\Gamma(k-1) \) 이며, 만약 n이 양의 정수일 경우, \( \Gamma(n) = (n-1)! \)이 성립됩니다.[Definition] 감마 분산 (Gamma Distribution)파라미터 \(k > 0\) 및 \(\lambda > 0\)를 갖는 감마 분산은 \(x \ge 0\)에 ..

지수 분산 (Exponential Distribution)Definition파라미터 \(\lambda > 0\)을 갖는 지수 분산의 확률 밀도 함수는 \(x \ge 0\)에 대하여 \( f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \) 이며, \(x < 0\)에 대하여 \(f(x) = 0\) 입니다. 누적 분포 함수는 \(x \ge 0\)에 대하여 \( F(X) = \displaystyle{\int_{0}^{x}{f(y)}dy = 1 - e^{-\lambda x}} \) 이며 기대값과 분산은 각각 \( \mathrm{E}(X) = \displaystyle{\frac{1}{\lambda}} \) 및 \( \mathrm{Var}(x) = \displaystyle{\frac{1}{\lambda^2}}..

균일 분산(Uniform Distribution)Definition다음을 만족하는 a와 b사이의 일정한 확률 밀도 함수를 갖는 확률 변수 X는 \( f(x) = \displaystyle{\frac{1}{b-a}} \) for \(a \le x \le b \) \( f(x) = 0 \) elsewhere 균일분산을 갖는다고 하며, 다음과 같이 표현합니다: \( X \sim U(a,b) \) 이에 대한 누적 분포 함수는 \( F(x)= \displaystyle{\frac{x-a}{b-a}} \) 이며, 기대값과 분산은 각각 \( E(X) = \displaystyle{\frac{a+b}{2}} \) 및 \( Var(X) = \displaystyle{\frac{(b-a)^2}{12}} \) 입니다.Proof\(..