[Probability] Discrete Probability Distributions - Poisson Distribution

포아송 분산

때때로 특정 범위 내에서 발생하는 사건의 수를 세는 확률 변수를 정의해야 할 필요가 습니다. 예를 들어, 실험자가 아이템 중 결함을 가지고 있는 아이템의 수에 관심이 있다거나 특정 시간 범위 내에 받는 전화 횟수 등입니다. 포아송(Poisson) 분포는 이러한 상황에 대한 적절한 모델을 제시합니다.

Definition

파라미터 λ를 갖는 포아송 확률 변수로 분한된 확률 변수 X는 다음과 같이 정의할 수 있으며:

\( X \sim P(\lambda) \)

\(\lambda\)는 

이에 대한 확률 밀도 함수는 x = 0, 1, 2, 3, ...에 대해

\( P(X=x) = \displaystyle{\frac{e^{\lambda} \lambda^x}{x!}} \)

입니다.

n이 충분히 클 경우(이를테면 150보다 클 경우)와 성공 확률 p가 충분히 작을 경우(이를테면 0.01보다 작을 경우) 포아송 분포는 이항분포 B(n,p)를 근사화하는데 사용될 수 있다. 파라미터 λ = np는 포아송 분포에 대해 사용되어야 하며 이항분포와 동일한 기대값을 갖습니다.

누적 분포 함수

포아송 분포의 이산 누적 분포 함수는 다음과 같습니다.

\( F(x,\lambda) = \displaystyle{\sum_{k=0}^{x}{\displaystyle{\frac{e^{-x} \lambda^x}{k!}}}} \)