[Probability] Chebyshev's Inequality

Chebyshev 부등식은 확률 분포의 분산과 표준편차에 대한 중요성을 강조하는 일반적 결과로 해석할 수 있습니다. 이는 기대값과 분산에 따라 일반적 확률의 범위를 알려주는 도구입니다. 즉, \(c \ge 1\)에 대하여,

\( P(\mu - c \sigma \le X \le \mu + c \sigma) \ge 1 - \displaystyle{\frac{1}{c^2}} \)

예를 들어, c = 2 라고 하면, \( P(\mu -2 \sigma \le X \le \mu + 2 \sigma) \ge 0.75 \)이며, 이 분포에 대해 어떤 확률 변수 X를 선택하였을 때 이 범위에 있을 확률은 75%임을 의미합니다.

Chebyshev 부등식은 확률 변수의 정확한 분포에 상관없이 이러한 결과가 참이라는 것이며 이 결과 도출을 위해 단지 필요한 정보는 분포의 평균값과 표준편차라는 것입니다. 즉, 분포의 평균값과 표준편차만 알면 범위 예측이 가능하다는 것입니다.