[Probability] Law of Total Probability

A₁, ..., A_n을 샘플 공간 S의 분할이라고 하고 각 A_i를 상호 배타적이라고 하면,

\(S = A_1 \cup ... \cup A_n\)

라고 할 수 있다.

n개의 이벤트에 대한 확률 P(A₁), ... ,P(A_n)이 알려져 있으며 또한 조건부 확률 \(P(B|A_i)\) 도 알려져 있다고 하자. P(B)를 계산하기 위해 P(A_i)와 P(B|A_i)를 이용한다. 사건 \(A_i \cap B\)가 상호 배타적이라면 다음이 성립된다:

\(P(B) = \displaystyle{\sum_{j=1}^{n}{P(A_j)P(B|A_j)}}\)

이 결과를 "전체 확률의 법칙(Law of Total Probability)"라고 한다. 다시 한 번 정리하면:

만약 \(A_1\), ..., \(A_n\)을 샘플 공간의 분할이라고 하면, 사건 \(B\)는 \(P(A_i)\)와 \(P(B|A_i)\)를 다음식을 이용하여 계산할 수 있으며,

\(P(B) = \displaystyle{\sum_{j=1}^{n}{P(A_j)P(B|A_j)}}\)

이를 "Law of Total Probability"라고 한다.