Scientific Computing & Data Science

확률 변수 X의 표준편차(standard deviation)는 분산의 양의 제곱근으로 정의되며, 그리스 문자 σ로 표기된다. 즉,의미적으로는 분산과 같다.

[Def.]확률 변수 X의 분산(variance)는 다음과 같이 정의된다:또는 동등하게, [Proof] [Meaning]분산은 수학적 의미로 확률변수와 이에 대한 기대치의 차이에 대한 제곱의 평균을 의미한다.즉, 같은 평균값을 갖는 확률 분포라도 각 확률 변수와 평균값의 차이가 클수록 분산의 크기가 커지며, 단순하게는 확률변수가 퍼져있는 정도로 이해하면 된다.

연속 확률 변수 \(\mathbf{X}\)의 누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function; CDF)는 다음과 같이 정의된다: \( \displaystyle{ F(x) = P(X \leq x) = \int _{-\infty}^{x}{f(y)}dy }\) 역으로 확률 밀도 함수 \(f(x)\)는 누적 분포 함수 \(F(x)\)를 미분하여 계산된다: \(\displaystyle{f(x) = \frac{dF(x)}{dx}}\) 또한 특정 범위의 확률 변수에 대한 확률은 다음과 같다: \(\displaystyle{ P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a) = F(b) - F(a) = \int _{a}^{b}{f(x)}dx }\)

확률 밀도 함수(Probability Density Function; PDF) \(f(x)\)는 연속 확률 변수의 확률적 속성을 정의하는 함수이며, 다음 두 가지 조건을 만족해야 한다. (1) \(\displaystyle{\int{_{\mathrm{state \ space}}{\ f(x)}dx = 1} }\) (2) \(\displaystyle{\int{_{\mathrm{state \ space}}{f(x)dx} = 1} }\)

by Geol Choi | January 31, 2014이번 글에서는 findAndModify를 통해 도큐먼트를 업데이트하는 방법에 대해 알아보겠다. findAndModify는 제시된 기준의 아이템을 찾고 업데이트하는 일련의 과정을 한 번에 처리할 수 있는 편리한 명령이다. findAndModify 명령어의 인자에는 sort 기능이 있는데 지금까지 다룬 적이 없으므로 이 부분을 우선 이해하고 넘어가도록 하겠다.다음과 같이 데이터를 준비하자.db.tasks.insert({todo : "shopping", status : "READY", priority : "4"}) db.tasks.insert({todo : "studying Mongo DB", status : "READY", priority : "1"})..

누적 분포 함수(Cumulative Distribution Function; CDF) \(F(x)\)를 갖는 연속 확률 변수 \(\mathbf{X}\)의 중간값(Median)은 다음 관계식이 만족되는 \(\mathbf{X}\)를 의미한다. \(F(X) = 0.5\) (1) 일반적으로 이산 문제에서 값을 얻는 것이 불가능하다.중간값은 값의 분포가 한쪽으로 치우쳐지는가를 판단할 수 있는 지표가 되기도 하나, 다음과 같은 결함을 가지고 있다.(2) 값을 찾는 것이 번거롭다. 만약 중간값과 기대값이 일치하는 경우 이를 "대칭 확률 변수"라고 한다.

Expected Value of a Discrete Random Variable확률밀도함수 \(P(X = x_i) = p_i\)를 갖는 이산확률변수의 기대값(Expected Value 또는 Expectation)은 \(\displaystyle{\mathrm{E}(\mathbf{X})} = \sum_{i}{P_i x_i}\)이며, \(\mathrm{E}(\mathbf{X})\)는 확률변수로 취해지는 평균값을 의미한다. 또한 확률변수의 평균이라고도 알려져 있다.Expectation of a Continuous Random Variable확률밀도함수 \(f(x)\)를 갖는 연속 확률 변수의 기대값은 \(\displaystyle{\mathrm{E}(\mathbf{X}) = \int_{\mathrm{state \..

\(A_1, ..., A_n\)이 샘플 공간의 분할이면, 사건 \(B\)의 조건 하에 사건 \(A_i\)의 Posterior Probability는 확률 \(P(A_i)\)와 \(P(B \mid A_i)\)를 이용하여 다음과 같이 구할 수 있다. \(\displaystyle{ P(A_i \mid B) = \frac{P(A_i)P(B \mid A_i)}{\sum_{j=1}^{n}{P(A_j)P(B \mid A_j)}} }\) 이를 Bayes' Theorem이라고 한다. Bayes' Theorem은 확률이론에 있어 매우 중요한 결론이다. 이는 새로운 정보가 기존의 확률 정보의 업데이트 또는 개정에 어떻게 유용하게 사용될 수 있는가에 대한 방법을 제시해 주기 때문이다. 어떤 경우에 있어 Prior Probab..

A1, ..., An을 샘플 공간 S의 분할이라고 하고 각 Ai를 상호 배타적이라고 하면, \(S = A_1 \cup ... \cup A_n\) 라고 할 수 있다. n개의 이벤트에 대한 확률 P(A1), ... ,P(An)이 알려져 있으며 또한 조건부 확률 \(P(B|A_i)\) 도 알려져 있다고 하자. P(B)를 계산하기 위해 P(Ai)와 P(B|Ai)를 이용한다. 사건 \(A_i \cap B\)가 상호 배타적이라면 다음이 성립된다: \(P(B) = \displaystyle{\sum_{j=1}^{n}{P(A_j)P(B|A_j)}}\) 이 결과를 "전체 확률의 법칙(Law of Total Probability)"라고 한다. 다시 한 번 정리하면: 만약 \(A_1\), ..., \(A_n\)을 샘플 공간의..

by Geol Choi | January 30, 2014"update" 쿼리는 기본적으로 기준에 부합하는 첫번째 도큐먼트만 업데이트 한다. 즉 기준에 부합하는 도큐먼트가 더 있을 경우 부합하는 첫번째 도큐먼트를 제외한 나머지 도큐먼트의 내용은 그대로 유지된다. 만약 기준에 부합하는 모든 도큐먼트를 업데이트하려면 "update"의 네번째 파라미터를 "true"로 설정한다. 우선 테스트용 데이터를 다음과 같이 준비하는데 고객의 이름과 생일을 입력해 보자.db.customers.remove() db.customers.insert({name: "gchoi", birthday:"08/22"}) db.customers.insert({name: "jmpark", birthday:"04/02"}) db.customer..