[Scientific Computing / Numerical Analysis] 보존 법칙

[글 순서]

1. Numerical Analysis] 물리 현상의 컴퓨터 모델링

2. 보존 법칙

3. 모델 방정식과 분류

연속체 역학(Continuum Mechanics)의 지배방정식은 일반적으로 보존 법칙이라 일컬어지며, 질량, 에너지, 운동량 보존 법칙으로 유도된다.

동일한 법칙에 의해 유도되므로 고체, 유체에 동일하게 적용이 가능하지만 이것들의 거동은 각각의 구성 방정식(Constitutive Equation)으로 설명된다.

일반적인 보존 법칙은 체적 V내의 물리량 u(x, t)의 변화량은 경계 A를 통해 유입/유출되는 u의 유량(Flux)과 체적 V내에서 S(u, x, t)로 표현되는 u의 생성/소멸량의 합과 같다. 즉,

  (Vector Form) ...(1-1)

또는,

   (Tensor Form) ...(1-2)

이며, 이를 보존 법칙의 적분 형태라고 한다.

고정된 볼륨에 대해서는 볼륨의 변화가 시간에 무관하므로,

 ...(2)

이다.

가우스 법칙(Gauss' Theorem)에 의하면, 볼륨 V를 둘러싸는 표면적 A를 통해 유입/출되는 유량(Net Flux)는 볼륨 V내의 모든 요소 간의 유량의 양과 같으므로,

 (Vector Form) ...(3-1)

 

 (Tensor Form) ...(3-2)

이다.

식(3)을 식(1)에 대입하면,

 (Vector Form) ...(4-1)

 (Tensor Form) ...(4-2)

이며, 임의의 볼륨 V에 대하여 피적분 함수는 0이 되므로,

 (Vector Form) ...(5-1)

 (Tensor Form) ...(5-2)

이 성립한다.

식(5)를 보존법칙의 Strong Form 또는 Differential Form이라고 한다.

미분형태의 식을 적분형태로 변형하려면 양변에 Weighted Residual, w(x) 곱하면,

 (Vector Form) ...(6-1)

(Tensor Form) ...(6-2)

이며,

부분적분(Integration by Parts)에 의하여,

 (Vector Form) ...(7-1)

 (Tensor Form) ...(7-2)

이므로,

식(7)을 식(6)에 대입하여 정리하면

 (Vector Form) ...(8-1)

  (Tensor Form) ...(8-2)

이 된다.

식(8)을 보존법칙의 Weak Form이라고 한다.