[Scientific Computing / Numerical Analysis] 물리 현상의 컴퓨터 모델링

[글 순서]

1. Numerical Analysis] 물리 현상의 컴퓨터 모델링

2. 보존 법칙

3. 모델 방정식과 분류

이번 글에서는 물리 현상의 컴퓨터 모델링 과정에 대해 알아보도록 하겠다.

이에 대한 절차는 다음과 같이 세 가지로 구분할 수 있다.

1. 문제 정의하기

물리 현상에 대한 컴퓨터 모델링의 첫번째 과정은 해결하고자 하는 문제를 정의하는 것이다.

즉, 정량화가 가능한(측정이 가능한) 관련 물리량들을 이용하여 문제를 정의하도록 한다.

이 과정에서 우리는 정의된 문제가 유일한 해를 갖는 우량조건문제(Well-posed Problem)이기를 기대하겠지만, 종종 물리현상에 대한 이해가 부족하여 유일한 해를 갖는 조건이 항상 보장될 수는 없다.

가령, 핵반응과 같은 복잡한 환경에 대하여서는 물리량 측정이 매우 어렵기 때문에 물리 현상을 완전히 이해하기는 거의 불가능할 것이다.

2. 수학 모델 세우기

수학은 자연의 언어라는 말이 있듯이, 물리현상에 대한 문제를 서술하는 언어는 수학이다.

이 과정을 물리 문제에 대한 수학 모델(Mathematical Model)이라고 하며, 또는 문제의 지배방정식(Governing Equation)이라고도 한다.

대표적인 물리현상을 정의하는 수학 모델은 다음과 같은 방정식들이 있다:

Navier-Stoke 방정식

Navier-Stokes 방정식은 유체역학(Fluid Dynamics)에서 유체의 움직임을 설명하는 방정식이다.

이 방정식이 탄생하기까지 많은 물리학자와 수학자들의 공로가 있었겠지만, 이름에서 짐작할 수 있듯, 방정식을 세우는데 결정적으로 기여한 프랑스의 물리학자 Navier(Claude-Louis Navier)와 아일랜드의 물리학자 Stokes(George Gabriel Stokes)의 이름을 딴 것이다.

이 방정식은 쉽게 말하면 파티클(Fluid Particles)에 대한 Newton의 제2 운동법칙이다.

탄성 방정식(Equations of Elasticity)

탄성 방정식은 구조역학(Structural Mechanics) 분야에서 외부 힘에 의하여 어떤 물체가 변형을 일으키는 것을 설명하는 지배방정식이다.

일반적으로 이러한 복잡한 방정식들은 해석적으로나 수치적으로 풀기 어렵기 때문에 복잡성을 줄이기 위해 가정을 세울 필요가 있다. 가령, 비압축성 유체의 비회전류(Irrotational Flow)는 Navier-Stokes 방정식으로 표현이 되지만 점성 효과가 미미하다면 Navier-Stokes 방정식 대신 포텐셜 유동(Potential Flow)의 라플라스 방정식(Laplace Equation)으로 문제를 푸는 것이 더욱 효과적이다.

3. 컴퓨터 시뮬레이션 수행하기

편미분 방정식을 푸는 수치해법들

일반적인 수학 모델을 해석적으로 푸는 것에는 한계가 있다.

왜냐하면 잘 알려진 문제의 패턴이 아니면 해석적 솔루션이 존재하지 않는 경우가 대부분이기 때문이며, 풀고자 하는 지오메트리의 형태가 대부분 복잡하기 때문이다.

이를 컴퓨터로 풀고자 하는 노력들이 있었으며, 컴퓨터의 발달과 함께 방법 또한 많은 발전을 이루어 왔다.

수학 모델들은 편미분 방정식(Partial Differential Equation, PDE)으로 표현되며, 이를 풀기 위한 대표적인 수치적 해결 방법들은 유한차분법(Finite Difference Method, FDM) 유한요소법(Finite Element Method, FEM), 유한체적법(Finite Volume Method, FVM) 등이 있다.

유한차분법은 편미분방정식을 푸는 수치해석법 중 가장 오래된 것이며, 미분 방정식을 근사화하는 로컬 테일러 확장(Local Taylor Expansion)에 기반을 두고 있다.

방법은 간단하지만 PDE를 근사화하는데 있어 위상적으로 정사각형을 사용하기 때문에 복잡한(특히 2, 3차원의) 지오메트리의 문제를 풀기에는 부적합하다.

이 문제는 FDM이 미분형식으로 접근하는데 근본적인 원인이 있으므로, 복잡한 지오메트리를 다루기 위하여 미분 형태가 아닌 적분 형태로 문제를 변환하는 방법이 고안되었는데 이것이 FEM과 FVM이다.

PDE의 분류

PDE는 다음과 같이 세 종류로 분류할 수 있다: Elliptic, Parabolic, Hyperbolic.

이 분류가 중요한 이유는, 각 문제가 우량조건이 되기 위한 초기 조건이나 경계 조건의 형태가 다르기 때문이다.