[Probability] Discrete Probability Distributions - Binomial Distribution

[Definition] 베리누이(Bernoulli) 확률 변수

\( 0 \le p \le 1 \)의 파라미터 p를 갖는 베르누이 확률 변수는 0 또는 1의 값을 취하며 일어날 확률은,

\(P(X=1) = p\)

이며, 일어나지 않을 확률은

\(P(X=0) = 1-p\)

이다. 이에 대한 기대값과 분산은 각각 \(E(X)=p\) 및 \(Var(X)=p(1-p)\)이다.

[Proof]

\( E(X) = \displaystyle{ \sum_{i=1}^{2}{x_i p_i} = x_1 p_1 + x_2 p_2 = (0)(1-p) + (1)(p) = p } \)

\( Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \displaystyle{ \sum_{i=1}^{2}{x_i^2 p_i - p^2} = (0)^2(1-p) + (1)^2(p) - p^2 = p(1-p)  } \)

[Definition] 이항분포(Binomial Distribution) 

우선 다음과 같은 실험을 고려하자.

• n번의 베르누이 사건
• 각 사건은 서로 독립적
• 각 사건의 확률은 p로 동일

전체 성공 횟수 X는 파라미터 n과 p를 갖는 이항분포를 따른다고 말하며 다음과 같이 나타낸다:

\(X \sim B(n,p)\)

B(n,p)를 따르는 확률 변수의 확률 밀도 함수는

\( P(X=x) = \begin{pmatrix} n \\ x \end{pmatrix}p^x (1-p)^{n-x} \)

for x = 0, 1, ..., n 이며,

\(E(X) = p, Var(X) = np(1-p)\)

이다.