[Programming / Signal Processing] Fourier Series

Fourier Series는 신호의 주파수 성분을 분석하는데 있어 매우 중요한 테크닉이다.

Fourier Series의 주요 개념은, 주기적인 신호는 무한개의 하모닉 함수 및 복소 지수(Complex Exponential)의 합으로 표현할 수 있다는 것이다.

가령, 주기 T₀를 갖는 주기 신호 x(t)는 다음과 같이 정의된다:

  ...(1)

여기서,

c_k : Fourier Series 계수

ω₀ :  (Fundamental Frequency)

kω₀ : k-번째 하모닉의 주파수

k-번째 Fourier Series 계수 c_k는 다음과 같이 계산된다:

...(2)

특히, c₀를 DC 성분이라고 하는데, 한 개의 주기에 대한 x(t)의 평균값과 같기 때문이다.

...(3)

---

Euler 공식을 활용하면 (1)을 다음과 같이 sine과 cosine 성분으로 나눌 수 있다:

...(4)

여기서,

또는,

...(5)

여기서,

Cosine Series

인 우함수(Even Function)에 대하여 

여기서,

Sine Series

인 기함수(Odd Function)에 대하여 

여기서,

Example

기함수

에 대하여 Sine Series를 적용하면, 이므로

따라서,

k 값을 늘려갈 수록 원래의 함수에 점점 근접해 지는 것을 확인할 수 있다.

R Code:

library(ggplot2)
 
k <- 1
t <- seq(from = -pi, to = pi, by = 0.01)
y <- rep(0.0, times = length(t))
yy <- rep(0.0, times = length(t))
 
cnt <- 0
for(x in t) {
  cnt <- cnt + 1;
  sum <- 0.0;
  
  for(i in 1:k) {
    sum <- sum + 2.0 / pi * (1 - (-1)^i) / i * sin(i * x);
  }
  
  y[cnt] <- sum;
  
  if(x < 0) {
    yy[cnt] <- -1.0;
  }
  else {
    yy[cnt] <- 1.0;
  }
  
}
 
mat <- matrix(c(t,y, yy), nrow = length(t), ncol = 3)
df <- as.data.frame(mat)
names(df) <- c("t", "y", "yy")
 
ggplot(df, aes(t, y)) + geom_line()
 
 
ggplot() + 
  geom_line(data = df, aes(x = t, y = yy, colour="blue", size = 1)) +
  geom_line(data = df, aes(x = t, y = y, colour="red", size = 1))

k = 1

k = 5

k = 10

k = 50

k = 1000