[Data Science / Probability] Chi-squared Distribution

[Definition]

[\(\chi\)-제곱 분포]

\( f(x;k) = \begin{cases} \displaystyle{\frac{x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}} {2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})} }, \ \mathrm{if} \ x > 0 \\ 0, \ \mathrm{if} \ x \le 0 \end{cases} \)

\(\Gamma(\frac{k}{2})\): 파라미터 k에 대한 Closed Form을 갖는 감마 함수

x: 랜덤 변수,

k: 정수 파라미터

[누적 \(\chi\)-제곱 분포]

\( F(x;k) = \displaystyle{ \frac{ \Gamma \begin{pmatrix} \displaystyle{\frac{x}{2}, \frac{k}{2}} \end{pmatrix} }{ \Gamma{ \begin{pmatrix} \displaystyle{\frac{k}{2}} \end{pmatrix} } } }  = P \begin{pmatrix}  \displaystyle{\frac{x}{2}}, \displaystyle{\frac{k}{2}} \end{pmatrix} \)

\(\gamma(s,t)\): 하한 불완전 감마 함수

\(P(s,t)\): 정규화 감마 함수

x: 랜덤 변수,

k: 정수 파라미터

[용도]

(1) 샘플 표준편차를 이용하여 정규분포의 모집단 표준편차에 대한 신뢰구간 추정

(2) 다중 정량변수에 대하여 두 개의 분류 기준의 독립성 검증

(3) 범주형 변수 간의 관계 검증

(4) 기반이 되는 분포가 정규 분포인 샘플 분산에 대한 스터디

(5) 기대 빈도수와 관찰 빈도수 간의 차이의 편차 테스트

(6) \(\chi\)-제곱 테스트 수행 (Goodness of Fit Test)