[Acoustics / Theory] Fundamentals / Mass Conservation

이번 글에서는 Acoustics의 기본 이론을 remind하는 차원에서 유체역학 관점에서 질량보존(Mass Conservation)에 대하여 다뤄 보겠다.

Integral Form of Conservation Law

보존법칙은 다음과 같이 서술할 수 있다:

"볼륨 V 내의 물리량 u(x,t)의 변화량과 경계  A를 통한 u의 유량(flux)의 합은 S(u,x,t)로 표현되는 u의 생성률과 같다."

           

이를 수식으로 풀어쓰면,

(1)

 

여기서, f는 u의 유량(flux)이다.

식(1)을 보존 법칙의 적분형태(Integral Form)이라고 하며, 이를 Tensor Notation으로 표현하면,

(2)

가우스 법칙(Gauss' Theorem)에 의하면, 경계를 통해 유입되거나(flux in) 빠져나가는(flux out) 유량은 영역 V 내의 유량의 변화량과 같으며, 수식으로 다음과 같이 표현할 수 있다:

(3)

식(3)을 식(2)에 대입하면,

(4)

을 얻을 수 있다.

Strong Form of Conservation Law

식(4)는 임의의 볼륨 V에 대하여 만족하므로,

(5)

이 된다.

식(5)는 보존 법칙의 Strong Form 또는 미분형태(Differential Form)이라고 한다.

식(5)는 다음과 같이 Vector 형태로 표현이 가능하다:

(6)

특히,

가 성립하는 이유는, 볼륨 V가 시간에 의존적이지 않기 때문이다. 즉, 시간에 따라 볼륨 V가 변화된다면 위의 식은 만족되지 않는다.

Weak Form of Conservation Law

식(6)은 Smoothness 조건이 강하기 때문에 가중 함수(Weight Function) w(x)를 곱하여 조건을 완화하는데 이를, Method of Weighted Residuals라고 한다.

식(6)에 가중함수 w(x)를 곱하면,

(7)

식(7)의 세번째 Term은 부분적분법(Integration by Parts)에 의해

(8)

가 되며, 이를 (7)에 대입하면,

(9)

를 얻을 수 있으며, 이를 보존법칙의 Weak Form이라고 한다.

식(9)를 Vector 형태로 표현하면,

(10)

Law of Mass Conservation

지금까지 정리된 식을 질량보존에 적용해 보도록 한다.

위의 식의 물리량에 다음을 대입하면,

u ← ρ

f ← ρv

S ← m

식(6)은,

(11)

 

여기서, v는 위치 x = (x_i)에서의 흐름 속도(Flow Velocity)이며, Cartesian 좌표에서 다음과 같이 표현된다:

만약 볼륨 V내의 질량 생성이 없으면, 식(11)은

(12)

가 되며, 이를 연속 방정식(Continuity Equation)이라고 한다.